關於 生活中 機率 的 應用 ，我們在網路上蒐集到這些相關的討論、資訊與評價

颱風來臨前的某天午後，只開了電風扇的室內還是很悶熱，滿身是汗的坐在書桌前望著窗外的天空，突然找到一片看起來很高感覺很涼快的雲，於是想像我自己就坐在那上面，心頭忽然一陣微風吹來。

數分鐘後雲朵散去，又再次烈日當空熱風撲面，令我無處可躲。

我認為過眼雲煙是一個能把生命中很多事物形容的無比貼切的詞。如果能有足夠的智慧去分辨出那些屬於過眼雲煙，我想人生應該會輕鬆很多。可是每次面對那些曾經在我眼前卻又消失不見的無常，和抓不住的終將消逝的因緣，總還是抵不過慣性的費盡心機想要將之留下，為此疲憊不堪矣。

我想就先把夢一般的雲和煙放在一旁吧，來討論一下那雙看著所有經過的眼睛。如果把過眼雲煙的雲煙比喻成生命歷程，那作為一個受體的眼就能解釋成‘我’。
身為人類我們能用感官去觀察和感受生命，眼耳鼻舌身體，各種感覺匯集成你的世界，構建起你的生活。 因此不能否認的是生活中的幸福指數，和健康的身體有相當大的關聯。
重感冒加上眼角膜發炎的甲同學以及耳聰目明且水分充沛的乙同學望著同一片藍天，我想他們對於眼前風景應該會有大大的感覺落差。 同一片山水被不同雙眼凝望，像是同一個編劇配上不同的攝影和導演，有可能是兩部截然不同的電影。因此我深信幸福感是能透過後天努力而獲得的。

如果說身外物是不可知且不可控，那我們能夠操控的就只剩下自己的身體而已。

看著穴道導引書裡的指示，在一層一層的用力放鬆的過程中，我找到了一種好久好久沒有出現過的身體感，像是告訴著自己的身體，嘿好久不見！我又回來了，我們要一起變好，再一起做些偉大的事情吧。

看見遠方的星星會覺得感動，是因為組成我們每個人的元素都來自恆星，所以既然它能發著光，我們也可以，所以說最遠的實際上就是最近的。如果想最遠的人也能看見我們發光，那就需要把握好最近的，也是我們日常能努力去經營的身體健康。

雖然浮生若夢滿是過眼雲煙，即便如此我們也能在變中創造不變，保護那雙陪我們經歷一切的眼，如同在汪汪大海的生命經過中，建起擎天燈塔，減少迷路的機率，早日回到家。



寫於 20210726 沒開冷氣滿身是汗的下午
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
推薦蔡壁名老師的新書《鬆開的技、道、心：穴道導引應用錦囊》
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

#穴道導引

選手的致勝心理秘訣：賽前不刻意去想 "比賽結果" 會是如何。

不曉得大家在觀賞奧運賽事時有無發現，在比賽開始之前，若選手受訪時被問到，是否有自信奪金？對奪牌有幾分把握時，

多數選手給的答覆是…他們會盡全力專注發揮、努力專注比賽、把能力發會到最大，通常不會直言，「我一定能拿到金牌。」「我要拿到第一」等等。

這除了謙虛、不傲慢自大以外，其實，也和運動員長期的心理訓練有所相關。

藉由這次的奧運風潮，粿想帶大家一起來了解運動員的心理訓練關鍵，我們可以從中學習、也嘗試用在自己的生活裡，提升專注力💪

．

英國體育學院心理學系主任Kate Hays，她曾在受訪時提及運動員的「心理演練」細節，她表示，運動員在上場之前，都會先進行專屬的心理演練流程。

而當運動員在想像賽場情形時，他們並不會一直去想「比賽結果」、「要奪得獎牌」、「最後贏得勝利」，或是去想像自己戰勝的場景，

Kate解析，如果一直去想著「無法預知、難以掌控的結果」會是怎麼樣，運動員反而只會萌生更大的焦慮和緊張，這無助於獲得勝利，還影響屆時上場的表現。

另外，曾任帕拉林匹克運動會（身障奧運會）英國隊運動心理醫師Rebecca Symes也提過類似見解，她則提到，比起一直想要贏得勝利戰果、奪牌，

越是專注投入在 訓練、練習、比賽的「過程」裡，才有更高的機率，去獲得好成績和好表現。

．

上述兩位運動心理專家的分析，可以再回推至心理學實驗「白熊效應」來找出端倪。

來自美國哈佛大學的社會心理學者Daniel Wegner，他曾進行一項有趣的研究，

他要求實驗受測者 "請不要去想像一隻白色的大熊" ，沒想到受試者聽到他這麼要求，卻更加發揮想像力、各自去想像出模樣不同的白熊了。

Daniel研究後提出這樣的結果：

人們的思維越是受到指使，或被要求、被壓抑、強加刻意為之，

就會發生無意識地「自主監視」情形，變得更往 背馳心意 的方向去思考和想像，

明明應該是要讓思緒更為精簡和專注，反而更加膨脹、雜亂。

這場實驗就被稱為👉「白熊效應」

Daniel認為
我們應該把專注力放在
" 既有已具備的能力 "
" 當下能做到的、能完成的 "
這兩件事上

而非一昧想著
" 最後一定要達到多高的目標 "
" 完成多大的成果 "

想法上的轉換、舉例來說像是如此

：下次要全場最快、拿第一（❌）

：下次上場前，我努力練習，100公尺距離控制在15秒內（⭕️）

．

那麼，關於上述源於運動心理訓練的技巧，我們可以如何應用於生活中呢？

若此刻手邊已經有必須完成的事、已立下確切要達成的目標，以Rebecca Symes的論點為基礎、粿於此延伸統整有助於「集中注意力、提升信心」的三個方法
給大家參考：

● 全面掌握、透徹分析 將要著手進行的事情範疇：

先全心投入在「過程」裡，接著把整體事情去劃分為「階段性任務」，也進行「優先時間」的分配。

● 給自己建立一支「啦啦隊」後援會：

獨自要完成長期的重責固然不容易，我們可以找身邊的家人、具專業見解的人，或是能傾聽訴說的朋友，從旁鼓勵自己、從他們身上獲得動力和支持。

● 在「類似情境」中練習：

這邊我們假設…即將要進行的事情、是一場重要面試好了，或是任何正式的、面對群眾的嚴肅場合，

一來你可以先向身邊、有類似經驗的人取經，或是蒐集書裡的、網路上的參考資校或專家經驗，預先學習和吸收；

二來，你也可以回憶過往，若自己過往已經有類似經歷，你可以回想當時的自己是如何迎戰、面對；

此外，你也可以在家中、在方便的場合裡「就地取材演練」，像是對著鏡子練習口條，或是先找身邊朋友、面對面演練類似對答內容。

．

寫至此，粿想起已故傳奇籃球員Kobe Bryant曾說過一句：

「如果你正害怕著會失敗，那你就很有可能真會失敗。」
（If you’re afraid to fail, then you're probably going to fail.）

我想Kobe或許就是想藉由自己百戰後的實際感觸、來告訴大家：

別被內心的恐懼綁架，
無須過度擔憂未知的結果，
專注於當下、
把手中握有的能力極致發揮，

無疑是最實際、最快抵達成功的秘訣了！

／

奧運賽事至今，粿相信比起獎牌拿了多少，運動員、國手們在場上汗水淋漓、充滿鬥志的模樣，已經讓你我十足熱血又感動不已，

看到每位運動員都是那樣年輕、看似青澀害羞，卻都能爆發如此強大而震撼的力量，實在讓人敬佩，

仔細去了解之後才知道，
除了體能上長時間的魔鬼訓練，

原來他們的心理應戰技巧，
也有許多值得我們學習之處！

／

最後，粿要私心地再次向所有運動員呼喊：辛苦了~~~你們真的都超棒啦😍🎉

#郭婞淳是神力女超人無誤💛
#小林同學根本天才少年💙
#為台灣參賽的各位選手都超棒
#運動心理學
#Tokyo2020olympic

（完）
－－－－－
💜更多心理議題圖卡，都在粿的IG
https://instagram.com/healingquei

●如您想讓身邊更多人看見本文內容，請於文首標明出處來源、抑或是直接轉發本文原連結，勿擅自抄寫、截圖或改寫，感謝您。

你的筋骨像「軟Ｑ彈力繩」還是「頂叩叩木板」啊？根據美國心臟與循環系統雜誌的相關研究指出，柔軟度較佳者，血管相對能更有彈性，而且可有助於緩解血壓異常現象；反之，若筋骨太硬，肌肉及血管就會更有機會出現伸縮困難現象，從而提高引發心血管疾患危機。因此，日常維持筋骨柔軟使之保有彈性，健康便可如影隨行！

進行拉筋時，可分「動態」與「靜態」兩類；動態拉筋就是藉由肢體動作進行伸展，像是開合跳、提臀跑、高抬腿跑、側併步跑、弓箭步前進等；而靜態拉筋則是應用靜態動作將肌肉和關節延展開來，操作時需維持一定的時間，以發揮良好的伸展作用

平時運動前可進行「動態拉筋」，有利充分活動身體關節及肌肉，還能提高體溫，以增加血液循環，讓身體進入運動預備狀態。而在運動訓練之後，則適合進行「靜態拉筋」，由於此時身體肌肉會縮短，需要透過靜態伸展來幫助肌肉恢復到原本的長度，才能保持肌肉彈性、減少痠痛，也是降低運動傷害的重要環節

人體的柔軟度與肌肉的放鬆度習習相關，當肌肉緊繃時，關節可彎曲的幅度就會變小。使肌肉緊繃的主要原因有二，一是過度疲勞、二是缺乏鍛鍊，建議每次應找出當下的實際原因，再進行因應，便可更精準且有效率地獲得緩解。以下彙整「5個拉筋的好處」，坐而言不如起而行，記得時常讓全身動一動，發汗鬆筋又醒腦，使身心保持健全，幸福歡快的生活品質便能常伴左右！

❶氣血順暢促代謝
正確拉筋，能幫助伸展全身肌肉等軟組織，使氣血運行暢通，營養便可效率運送至臟腑，並維持穩定代謝功能，亦有助促進體內的老廢物質隨水分排出體外

❷平衡肌群姿態佳
若姿勢與施力不當時，易造成肌肉失衡，而加強伸展與拉筋則可舒緩施力不當所造成的肌肉壓力負擔，亦可改善姿勢不良而引起的不適與疼痛，還可幫助回復姿勢正常化

❸紓緩經痛助循環
骨盆內和子宮周圍有許多細小肌群，在經期前後，當骨盆內部的血液循環不良，便會引起下腹部與腰部疼痛。而透過每天拉筋，放鬆臀部、鼠蹊部及骨盆附近的肌肉，不僅可促進血液與淋巴循環，更可緩解經痛症狀

❹筋骨柔軟增靈活
每個關節可運作的最大幅度，即是使肢體動作能流暢的要素，而透過經常伸展，可幫助增加肢體的活動範圍，不僅可保持靈活度，也可減少運動受傷的機率。常保筋骨柔軟，能使日常活動輕鬆自如，更是預防衰老及行動不便的良方

❺壓力釋放穩情緒
精神層面的壓力或實物的重量負荷，會使情緒和身體出現壓力，讓肌肉產生收縮，這也是引起緊繃的因素。而生活中的壓力雖是無法完全避免的，但養成拉筋伸展的習慣，卻是自行可掌握的。如頸部、肩膀及上背區塊，都是緊繃收縮的好發區域，適時放鬆，既可緩解壓力，更能使心緒穩定

#拉筋小教室
A.頭頸
仰臥於床面，頭部移至床緣懸空並微緩緩往後仰，用以拉伸胸鎖乳突肌，每次維持30秒至1分鐘後回正，亦可用雙手扶住雙耳後側輔助，反覆進行5回

B.肩頸
右手放在頭部左側，右手輕壓頭部往右側倒，可感到微緊繃感，回正後換邊操作。過程記得收下巴，並配合規律呼吸吐氣。每次維持30秒至1分鐘 ，進行5回

C.手背
將身體背面之後腦勺、臀部及腳跟貼緊牆面，十指交叉反手往上舉。用以伸展手部和背部肌肉。每次維持30秒至1分鐘 ，進行5回

D.臀腹
平躺於瑜伽墊上，雙腳屈膝90度，雙手伸直放於兩側與肩平行。運用下半身的核心力量將雙腿向左旋至貼地，並將頭往右側轉，肩膀需緊貼於墊子上。維持約30秒至1分鐘回正後，再進行另一側的操作。兩側各進行5回

E.臀腿
利用一至兩階的樓梯高度差，呈弓箭步進行伸展，舉例右腳踏於第三階，左腳踩在第一階，藉此伸展臀大肌和大腿後側肌肉，30秒至1分鐘回正後換腳，交替持續進行5回。接著，坐在椅子上，上半身挺直，雙手扶於兩邊椅側，緩緩抬起雙腳，腳底板往向下壓，直至小腿肚有酸麻感，用以伸展阿基里斯腱，可強化腿部肌力

#拉筋停看聽
⚠️平時可針對經常使用的肌群加強伸展，可讓該區域肌肉保持靈活度，建議每週拉筋與伸展二至三次，養成習慣，可使體能持續進步

⚠️拉筋能讓肌肉變得更修長，使體態勻稱俐落，更可展現窈窕纖細的輕盈姿態！但拉筋不會讓脂肪量變少，日常建議在飲食與運動之間進行均衡的把控，相輔相成且持之以恆，便可獲得良好成效

⚠️每次運動前，謹記熱身與拉筋的重要性，以降低引起運動傷害之風險。拉筋前，可先進行低強度的走路、慢跑或騎腳踏車，維持五至十分鐘，讓肌肉溫度上升後，再進行拉筋和伸展，效果好且更安全

⚠️拉筋常被誤解當作是熱身的運動，這樣反而可能造成身體傷害；運動前的熱身方式，應是動態的暖身運動，而不是靜態的拉筋伸展。熱身運動就是在運動前先進行低強度的運動，像是走路、慢跑幾分鐘，感到體溫升高後，就能逐漸提高運動的強度和速度進行鍛鍊

⚠️進行伸展運動時，需保持規律呼吸，每個動作維持30秒以上，若遇緊繃部位，可延長至60秒。在伸展時，能感覺到肌肉緊繃感，且被拉伸的感覺；但若出現明顯疼痛感，則代表力道過大或姿勢不良，此時即應停止動作，稍做休息後，再重新進行，並循序漸進，切勿操之過急反可能造成傷害

#同場加映
⚠️5大運動的好處 https://reurl.cc/qg2O33

⚠️必需流汗的五個理由 https://reurl.cc/1YE27Y

⚠️瑜伽6大熱門派別介紹，柔軟筋骨更有助身心放鬆 http://kaijun.com.tw/trend-20/

⚠️在家也能練出好身材，9種多功能運動輔助器材讓全身線條更健美 http://kaijun.com.tw/fitness0517/

#凱鈞話重點
#5個拉筋的好處

主持人：陳鳳馨
來賓：PG財經筆記版主 蔡至誠〈阿爾發投顧財務顧問部經理〉
主題：今周刊出版《投資心理戰：行為金融專家教你看透群眾心理偏誤，掌握獲利勝機》
節目時間：週一至週五 07:00​-09:00am
本集播出日期：2021.04.30

#News98​ #陳鳳馨​ #行爲金融學​

#收藏好書​：今周刊出版《投資心理戰：行為金融專家教你看透群眾心理偏誤，掌握獲利勝機》https://bit.ly/2Phb5R6

行為金融起源於一個簡單的信念──在現實生活中，投資人並不理性。
心理學家已經證明，人類決策過程中包含多個導致思考偏誤的特徵。
《投資心理戰》教你精準判讀人性與金融市場，避開賠錢股，提高交易勝率！

傳統金融理論假定市場參與者們完全理性，然而很多投資人在面對市場訊息時，不是反應過度，就是反應不足。

在投資中，比其他人更懂得如何避免犯錯，與如何取得成功同樣重要，甚至更重要。
　　
心理偏誤確實會影響人們對股價的判斷，因此投資大眾應善用行為金融理論，擬定更優質的財務計畫。

◤投資人不僅會犯錯，還會以某種可預測的方式犯錯◢

現實金融世界中有許多事件，根本無法透過「效率市場」觀點解釋。
股票並非以其實際價值交易，而是以投資人認為的價值。
《投資心理戰》引用廣泛的心理學領域研究，指出投資人經常會出現的各種非理性行為：

#過度自信與樂觀──人們呈現「過度自信」傾向時，往往會交易得更頻繁。當換手率上升時，投資淨利也會下降。
#直觀偏誤──人們傾向使用另一件非常相似的事物來評估當下狀況，卻忽視機率的存在。投資人常會陷入將一間好公司，視為一檔好股票的錯誤思維。
#可得性偏誤──常見事件，比罕見事件更容易浮現腦海。實際上你對股票的選擇，更有可能是受到媒體，或甚至是某些看似可靠的消息來源所影響。
#模糊趨避──人們特別害怕涉入曖昧不明的情況。這導致投資人偏好自己熟悉的選項。
#框架依賴──事實上，所有人都受環境影響。如果只留意公司盈餘而不看現金流，將會有很高機率買到賠錢股。
#損失趨避──比起獲利，人們更厭惡損失。投資人往往會繼續持有賠錢股，並樂於賣出賺錢股票。
#賭資效應──人們對風險的感知，會因先前的回報而有所改變。當市場表現良好，人們會傾向願意冒更大風險。

很多投資書都在講應該做什麼，但本書卻要告訴我們──「不能」做什麼。基於多年業界經驗，國際上備受敬重的行為金融專家詹姆斯．蒙蒂爾，提出數種協助投資人不受行為偏誤與心理缺陷而左右交易決策的關鍵方法，以及妥善應用行為金融學說，幫助投資人：釐清投資風格輪動的重要性、如何評估一支股票、如何建構投資組合、如何做好資產配置，以及公司理財與投資之間的關係等重要議題。

在影響市場方面，心理因素就跟企業的財務報表一樣重要。
想從市場中賺錢，就必須理解大眾。
這不僅能讓身為投資人的你避免虧損，更可幫助你有效利用市場的不理性穩穩獲利。

📣 更多 #財經起床號​ 專題影音：https://bit.ly/2QvBR55​

🔍 馨天地
Apple Podcast：https://apple.co/3uVbXdQ​
KKBOX：https://bit.ly/3bezcYP​
Spotify：https://spoti.fi/3beL7pj​


-----
▍九八新聞台@大台北地區 FM98.1
▍官網：http://www.news98.com.tw
▍粉絲團：https://www.facebook.com/News98
▍線上收聽：https://pse.is/R5W29
▍APP下載
　• Apple App Store：https://news98.page.link/apps
• Google Play：https://news98.page.link/play
▍YouTube頻道：https://www.youtube.com/user/News98radio
▍Podcast
• Himalaya：https://www.himalaya.com/news98channel
• Apple Podcast：https://goo.gl/Y8dd5F
• SoundCloud：https://soundcloud.com/news98

杜氏數學 國際官方網站 http://www.hermantomath.com
----------
Title:
被莊家永遠隱藏的機率原來很易計？
----------
Subtitle:
一張凳、一本簿、一枝筆，便可以簡單運算？
----------
Script:
要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利，你要靠EV；而EV的計算，則涉及賠率（Odds）和機率（Probability）。一般賭局，賭率無論是固定，抑或不固定，都必定會顯示（例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等）；然而，勝負機率卻永遠隱藏。

計算機率可以非常複雜，看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的，相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單，有些連小學作業都有教。

為什麼又可以簡單？又可以複雜呢？這要由「機率是什麼」說起。

首先，機率就像重量、長度、價錢等，是一個量度值。當你想知道自己的體重，你會站在電子磅；當你想知道自己的身高，你會用尺量度；當你想知過大海船票幾貴，你會查一查價錢；而當你想知道一件事情發生的可能性，你便要計算機率。

那麼，有什麼事你會想知它的可能性呢？擲一粒骰「擲到七點」的可能性，你會想計算嗎？不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼，擲骰擲到整數的可能性，你又會想計算嗎？不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見，當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時，你不會問可能性。換言之，當你不肯定某事情是YES還是NO時，你才會想窺探可能性。

最家傳戶曉的例子，非擲毫莫屬：究竟下一回是公定字呢？

雖然機率是數學之中的一個範疇，但機率在語言之中也佔了一席位，縱使未曾學過機率，都會以「五十五十」來描述擲毫的結果，即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十（50%）。
 
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通，因為一整份是100%，各分一半自然是各佔50%，亦是兩份之中取一份，二份之一也。

分數概念對機率非常便利，將虛無飄渺的機率圖像化，轉化成「切蛋糕」的情況－－由於你深信擲公和字的可能性均等，公和字就像一對雙胞胎，要吃相同份量的蛋糕，身為父母你便得把蛋糕一分為二，一份給公，一份給字，二份之一也。

此平平無奇的「二份之一」概念，更足以延伸至更多情況：

擲一粒骰子，擲得一點的機率是多少？

由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同，它們就像六胞胎平分生日蛋糕，你把蛋糕一分為六，一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率，六份之一是也。

只要看得穿多少胞胎在分蛋糕，便能運算出機率。

雖然擲毫的機率十分顯淺，顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣，然而，由擲毫和擲骰引起的誤解，同時惹來不少人放棄了機率，甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是：

「擲公字的機率是二份之一，那麼，要是第一局己擲到了一次公，下一局將必定擲到字嗎？」

當然不是！否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎？這是天方夜譚吧。再者，若「必定」梅花間竹地出現，機率該是100%，這一點也抵觸了「二份之一」的說法。

「既然二份之一的機率，並不代表能夠預測下一局，對賭客來說又有什麼意思？」

答案很簡單，就是用來計算EV，預知定然的長遠結果。
 
明白了機率的意思和功用之後，接下來正式講解機率的3大運算方法：

1. 窮舉法（Exhaustive Method）：一次隨機事件

先前提過，基本的機率運算，是平均分蛋糕的遊戲。由此可見，「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好，這種「有幾」的問題，都只是嬰孩學「數手指」（即數數目）可以應付的問題。

由擲公字的例子起步，全部的情況有「公」和「字」，我們就這樣數：

「公……第一個；字……第二個。總共兩個。」

即問題涉及雙胞胎，將蛋糕分成兩份。

如想知擲得「公」的機率，我們又再數過：

「公……第一個。總共一個。」

可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份，二份之一也。

擲骰子亦同樣，這樣數全部的情況：

「一點……第一個；兩點……第兩個；三點……第三個；四點……第四個；五點……第五個；六點……第六個。總共六個。」

即問題涉及六胞胎，將蛋糕分成六份。

如想知擲得「雙數」（即2、4、6）的機率，我們又再數過：

「兩點……第一個；四點……第二個；六點……第三個。總共三個。」

可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份，六份之三也。
 
兩題的答案，分別是「二份之一」（ ）和「六份之三」（ ），究竟誰大誰小呢？欲比較分數，可以先將它化簡，繼續直接觀察，或者相減或相除。然而，分數的觸覺並非人皆有之，曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此，我建議採取較「平易近人」的百份率（%），換算方法是－－將分子除以分母，再乘以100，便是百份之多少，即多少%了。

機率(%)=分子÷分母×100

以上述的結果為例，先把1除2，再乘以100，得出50，即擲得公的機率為 50%；把3除以6，再乘以100，得出50，即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色，「一樣那麼可能」。

由這兩個例子得知：只要能夠準確細數可能發生的情況（我稱之為懂得數手指）便能夠計算基本的機率了。

當然，懂得數手指並不等如一定數得清，當數量太多的時候，例如打麻雀（144隻牌）一起手便食糊（又稱食天糊）的機率，逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人，的確能夠把所有可能性徹底列出，但整個過程也拖太久了吧？

因此，數數目亦應該要有聰明的方法。
 
2. 列表法（Tabulation）：兩次隨機事件

以擲骰子為例，擲一粒骰當然能夠「數手指」，因為只得6面。可是，如果擲兩粒骰呢？總有多少個可能的結果？

「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個；第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性，最終便會得知，總共有36個可能發生的結果。

列出來當然可以，但無可否認實在太煩了，而煩，亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢？
 
日常生活中，有一種表達方法，很值得參考，就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹，因此會是兩個馬匹號碼互相配搭，例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」，情形就像2粒骰的點數，「一點」加「六點」。

由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下：

每一格分別代表一個情況，例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點，綠色的骰子三點」。 由此可見，擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之，將蛋糕切成36份。

如問擲得總點數為10的機率，使用「馬經作圖法」答案一目了然：

非常明顯，共有3個格子，是兩骰點數相加為十（分別是(4,6)、(5,5)和(6,4)）因此這三十六胞胎，現在有三胞胎說要吃蛋糕了，在「36份之」中吃了「3」份，答案是「36份之3」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）

值得留意的是，這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方：

試想想，現有6張卡，分別畫了骰子的6面，現在你隨機抽取兩張，請問2張卡的點數相加為十的機率是多少？

很多人會照舊作答「36份之3」，原因是問題只是將骰子變成卡片，情況不甚改變，而且，使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表：

可惜這是錯的，答案錯，列表也是錯的，錯在算少了一著：擲骰子可以擲到相同數字，例如2粒骰都是一點，但抽卡並不能抽到相同數字呢！卡片只得1張，你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此，列表應修正如下：

灰色代表根本不可能發生的情況，即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表，蛋糕應平分為30份，而不是36份。符合相加為十的結果，亦不是3個，而是2個，因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此，修正後的答案為「30份之2」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）
 
3. 樹狀圖（Tree Diagram）：兩次或以上隨機事件

雖然列表可以將可能性整齊地列出來，但列表也有它的局限之處，就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件，則要靠樹狀圖了。

以擲毫為例，如連擲三枚硬幣，擲得至少一次公的話，你便可以獲得8000元，這個遊戲值得花5000元去玩嗎？

首先，你得知道勝出這賭局的機率，即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件，因此無法使用列表法，非用樹狀圖不可：

樹狀圖就像旅行路線圖，每一條路都是一個行程，每一個行程就是每一個可能性，不妨逐個寫出來看看：

由圖所示，這年遊戲總共有8個結局，而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金，由此使用「分蛋糕」概念，你勝出遊戲的機率是8份之7，換算成百分率，即87.5%。

賠率則這樣計算：以5000元當作1注，如得勝則淨贏3000元，即贏3000÷5000注，又即0.6注。因此，你若參與這個賭局，你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%，是一個正數。長賭下去，你將會獲取40%的純利，當然值得參與賭局。
----------
杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
Ａ ── IAL Core Math 3 4
Ａ ── IAL Further Pure Math 1
Ａ ── IAL Mechanics 2
Ａ ── IAL Mechanics 3
Ａ ── IAL Statistics 1
Ａ ── IAL Statistics 2
----------
精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo