【這題怎麼算?至少有三種方法,你用哪一種?】
.
上次在講為何需要極限嚴格定義時
我有問過這題
不少同學知道答案是 1
.
但是為什麼?
.
學數學時
最重要的事就是問為什麼
.
方法 1️⃣
.
有些同學講
因為當 x 越靠近 0 時
sin(x) 和 x 比值越靠近
所以極限是 1
.
這方法蠻直觀的
但不是直接畫圖看左右極限
因為上圖並非 sin(x) / x 的圖形
.
方法 2️⃣
.
有些同學則使用羅必達法則
分子分母個別微分,再求極限
.
但這方法有點問題
特別是針對初學者
因為在初學極限時
是沒有微分可以使用的
.
方法 3️⃣
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那麼初學者要如何得到這題的極限呢?
可以參考我頻道影片
👉 夾擠定理|觀念講解
.
大家是用什麼方法算出這題極限呢?
在下面留言告訴我唄~
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同時也有91部Youtube影片,追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭,也在其Youtube影片中提到,【摘要】 本習題練習計算 sin(66x+77) 的微分 【勘誤】 無,有任何錯誤歡迎留言告知 【習題】 檔案:https://drive.google.com/file/d/1cCuIwxvmngdmBpAOg2qlR7Az9SUlGjks/view 簡答:可在張旭的生存用微積分社團下載 社團...
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sin積分 在 數學老師張旭 Facebook 的最佳解答
【極限的嚴格定義?大一新生的大難關】
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∀ ε > 0, ∃ δ > 0, s.t.,
∀ 0 < | x - a | < δ, | f(x) - L | < ε
.
這一大串看似咒語的數學敘述
是很多大一新生初學大學微積分的難關
.
而那一大串咒語所代表的意思
就是當 x 趨近 a 時,f(x) 會趨近 L
.
剛高中畢業的同學或許會覺得奇怪
函數的極限,不是看左右極限就好了?
.
其實不然,像下面這個例子:
lim_{x→0} sin(x) / x
其函數圖形不好畫
所以不容易直接從圖形看出左右極限
.
因此數學家才需要發展極限的嚴格定義
就是最前面看到的那串咒語
.
從該定義出發
先解決基本函數的極限
然後證明函數的極限公式
再搭配一些計算技巧和定理
最終就能靠計算得到大部分函數的極限
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像剛剛提到的那個例子也行
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知道那個例子的答案是多少嗎?
知道的同學下面刷一排答案唄~
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【搬運計畫:積分後篇|重點一:進階積分技巧:高次倍角三角函數積分|精選範例 1-2|張旭微積分】
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本影片演示 sin 倍角和 cos 倍角相乘積分的計算技巧
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sin積分 在 數學老師張旭 Youtube 的最佳解答
【摘要】
本習題練習計算 sin(66x+77) 的微分
【勘誤】
無,有任何錯誤歡迎留言告知
【習題】
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【附註】
無
【丈哥的話】
嗨!大家好,我是丈哥
微分是微積分裡面的一個重要的章節
往後的任何章節都離不開微分這項基本概念
因此必須要好好練習
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【學習地圖】
【微分篇重點三習題】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiDkPQvAT5zyHNt6gsTBOKr)
習題 3-2 👈 目前在這裡
習題 3-4 (https://youtu.be/mw2Tgb5rf9s)
習題 3-6 (https://youtu.be/HWRffHxaJNk)
習題 3-8 (https://youtu.be/ZY_z-Yd73vw)
習題 3-10 (https://youtu.be/53wFXL0iQsY)
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sin積分 在 數學老師張旭 Youtube 的最佳貼文
【摘要】
本習題練習計算 sin(x²) 的導函數與導數
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【附註】
無
【丈哥的話】
嗨!大家好,我是丈哥
終於進到微分篇習題了
關於極限跟連續
有很大的一部份是為了微分做準備的
微分篇開始
才算得上是微積分的一大支柱
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習題 1-4 (https://youtu.be/vBFlI5ss_DA)
習題 1-6 (https://youtu.be/t3Y4VG3i6vM)
習題 1-8 (https://youtu.be/cf1KSuKw4JA)
習題 1-10 (https://youtu.be/vsUPqK42RtE)
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sin積分 在 數學老師張旭 Youtube 的最佳貼文
【摘要】
本影片練習計算 sin 跟 sin 合成的極限
【勘誤】
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【習題】
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【附註】
無
【丈哥的話】
嗨!大家好,我是丈哥
重點三也是相對容易的單元
有了各式各樣的運算律
算起極限更便利
但還是要練習練習
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【連續篇重點三習題】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgpzXw8ktcunJzRJMNxPZe5)
習題 3-2 (https://youtu.be/RuZ3bAYG1pY)
習題 3-4 👈 目前在這裡
習題 3-6 (https://youtu.be/wZ9bsmIbUS8)
習題 3-8 (https://youtu.be/aaB-tdY2cC4)
習題 3-10 (https://youtu.be/H22ix-o1Xys)
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sin積分 在 Re: [微積] [sin(nx)/sinx]^2從0積到pi - 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《herstein (翔爸)》之銘言:
: ※ 引述《flurry (徹徹底底的失敗者)》之銘言:
: : 各位板友好, 最近在練習幾個證明題, 但是
: : ∫[sin(nx)/sinx]^2 dx 從0積到pi的積分實在不知
: : 如何下手, 還請知道方法的板友提供一下方法,謝謝!
: : 漏了提供答案, 積分的結果是 npi, 謝謝各位
: 如果要拆~~可以想想看把sin nx用Euler identity把它拆開來:
: 令z=cos x+ isin x, 那麼 sin x =(z-z*)/2i, z*為z的共軛複數。
: 可以利用棣美弗定理知道sin nx =(z^n-z^n*)/2i。因為zz*=1所以
: z^-1=z*。所以我們可以把
: sin n x/ sin x ={z^n-z^(-n)}/{z-z^-1}=z^{-n}(z^{2n}-1)/{z^-z^(-1)}
: 同乘z之後 可得 z^{-n+1}(z^{2n}-1)/(z^2-1)
: 就想成等比級數
: z^{-n+1}(1+z^2+z^4+...+z^{2n-2})
: =z^{-n+1}+z^{-n+3}+...+z^{n-3}+z^{n-1}
: 這是最直觀的想法,至於這樣能不能做你可以試試看
: 是不是有其他方法?當然有~~不過這些想法彼此都有類似之處。
#1DB9U7Dm 可以參考看看,尤其解法二是真正的勁
: 如果你學過Fourier級數就用這去想
: 如果沒學過~~剛好也可以想想。
這題其實可以算是Parseval's theorem的一個應用吧
Parseval's theorem (證明就代進去展開就好)
https://en.wikipedia.org/wiki/Parseval%27s_theorem
讓a_0 = a_2 = ... = a_{n-1} = 1
一邊是n,另外一邊整理一下就是那個積分除以π
比較有趣的是如果讓a_i代別的數,就會得到別的等式
比方說a_i = (-1)^i,就會得到(cos(nx)/cosx)^2的積分
代a_i = α^i或更怪異的值的話,就會得到一些更科科的積分等式,還算是有一點點酷
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◆ From: 18.95.7.198
※ 編輯: TWN2 來自: 18.95.7.198 (01/10 14:17)
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