Baby Life
如何引導孩子的數學思維?
張麗芬老師提到有一個研究生就調查父母親會利用那些日常生活中的機會提供幼兒數學經驗,結果發現,父母親會使用很多機會,例如教孩子認得生活用品上的數字(遙控器、計算機、磁鐵、車牌、門牌或招牌上的數字),唸數字(例如從1念到100),倒數(例如從10念到1),念唱含有數字的歌謠,點數東西(樓梯、車子的輪胎、糖果、錢幣、卡片、骰子的點數),理解順序概念,請孩子計算錢幣,加減運算概念的生活事件等。而這些活動就是孩子平常就在做的事情,通常也是孩子有興趣的。
另外,孩子在遊戲時,也會使用很多數學能力,例如有研究觀察孩子在玩時的情形,發現孩子有46%的時間在進行與數學有關的遊戲,例如把東西分類、點數手邊的物品、或探索形狀。其實,我們的環境中充滿了與數學概念有關的事件,爸爸媽媽只要能辨認出這些機會,就可以加以引導。
放輕鬆、保持好玩的心態
相信爸爸媽媽對適合孩子學習的數學內容已經有些了解,接下來就是要用什麼態度和技巧來引導孩子呢?
在心態上,首先,請了解,你不必是數學奇才,才有能力教孩子學數學。請不用擔心自己的數學不好要怎麼教,孩子需要的是能促進他們數學興趣的成人。
而且你本身就是孩子的學習楷模,如果你本身對數學的態度是負面的,別忘了,也會把這種態度傳給孩子。所以首先,你要認為它是好玩的,也要讓孩子覺得:數學是可以玩的,數學是有趣的。學習時間長短不是最主要的考量,也不必硬性規定每天一定要有多少「數學時間」,這樣才不會對你和孩子造成壓力。
張麗芬老師提議可以試試以下做法:
1.有興趣的活動和遊戲
玩和遊戲是孩子的生活、工作和學習的方式,孩子都喜歡和爸爸媽媽玩遊戲,所以爸爸媽媽不用擔心遊戲是不是有教育性,只要隨著孩子對數學的興趣,讓孩子對數學好奇,體會數學的樂趣,而不是苦差事。
有些遊戲很適合和孩子一起玩,例如一副紙牌就可以玩很多遊戲,比大小、抽鬼牌、接龍、撿紅點等。還有一些盤面遊戲,例如大蛇棋,大富翁,也可以讓孩子學習認讀數字、點數、數字之間的關係等。數學本來就可以和許多活動結合,如果能利用孩子有興趣的活動,在這些活動中加入數學的原素,也能水到渠成。
此外,研究發現,在孩子有興趣的閱讀繪本故事中,適時介紹數學概念或數學語言,就可以增加孩子的數學能力。下次在念故事書給孩子聽時試試看,例如「毛毛蟲吃了3個李子,讓我們來數數看是不是3個,1,2,3,真的有3個李子!」也拉著孩子的手數數看,「他們排隊要去游泳,誰排第一個?」。
2.讓孩子主導,先滿足孩子的好奇心
孩子本來就對很多事情很好奇,拿到玩具時,不免先把玩一番,玩具本來就有很多玩法,不同年齡的孩子有不同玩法,父母親不妨先看看他到底怎麼玩,從孩子的玩法去推敲他目前的所知所能,了解他可能知道什麼,再作引導。
父母親不必急著告訴他要怎麼玩,也不必太急著看到玩玩具的成果,有時太著急反倒適得其反,不只帶給自己不必要的壓力,也減少讓孩子玩的興趣。要記得學習的主角是孩子,多點耐心,跟隨孩子的歩調,讓他主導,先滿足他的好奇心,再適時給建議。
3.讓孩子透過實際操作和具體經驗來學習
數學是抽象概念,而抽象概念是很難用語言直接教給另一個人,更別提對象是個小小孩。數學概念會用符號表示,但是這些符號對孩子而言有如另一種語言,如果沒有賦與意義,往往不容易了解或記住。所以如果你說了半天,孩子還是似懂非懂時,試試看把積木、花片或任何可以取得的東西拿出來,讓孩子透過實際操作和具體經驗來學習,孩子的印象會特別深刻。
這倒不是說爸爸媽媽必須去買所謂能開發孩子數學能力的昂貴益智教具,實際上不用特地買昂貴的教具,家裡隨手可得的用品就可以。另外,有些父母親會禁止孩子用手指頭計算,因為太慢了,但是孩子還是會偷偷把手背在背後算,事實上,孩子的學習是從具體進到半具體,然後才是抽象概念!
現今市面上也有許多幫助孩子學習數學概念的影片或電腦遊戲,估且不論孩子有沒有能力操作電腦,電腦螢幕上的圖片雖然吸引人,不過那也只是半具體的圖片,與其讓孩子看著電腦上的蘋果比較大小,不如拿出真正的蘋果,不只能實際看到大小,還能感受到重量與香味,還能嚐一嚐,孩子也能得到比較多資訊。
4.從生活中學習數學,也將數學使用於生活中
生活裡自然就提供了很多學習數學的機會與活動,例如生活中的購物、分東西、收玩具等,而且是對孩子有意義的學習機會,有意義的情境下的學習效果更大。透過這些活動也會讓孩子了解,數學與生活是有相關的。
例如,烤餅乾活動中就有很多數學與科學概念,要拿幾個雞蛋?秤多少麵粉?加幾杯水?放幾匙糖?先做那個歩驟?再做那個歩驟?要把餅乾作成什麼形狀?烤幾分鐘?烤好的餅乾打算要分給誰?孩子還能親眼看到從材料變成餅乾的過程,過程中各種材料的變化就是最好的科學經驗,而且最好的莫過於做完後還能立即享用,孩子一定喜歡。所以數學就存在生活環境中,只要你能留意,並把握孩子有興趣的時機,自然地加以引導就可以。
推薦書籍
最後,張麗芬老師熱心地推薦可參考書籍,希望對爸爸媽媽引導孩子學數學有幫助:
游雅婷譯(2007) 《樂在學習的腦》 台北市:遠流
陳筱宛譯(2010)《寶寶也是哲學家:幼兒學習與思考的驚奇發現》台北市:商周
張麗芬
現任:臺南大學幼教系副教授
學歷:國立政治大學教育研究所博士
相關研究專案:
1. 學前幼兒數學能力發展與成長之長期研究(2011-2013)
2. 情境與父母對學前幼兒計算策略的影響(2008-2009)
3. 結合圖畫書與數學以提升幼兒的數學能力與學習態度之研究(2007-2008)
【更多內容請見2013年4月號BabyLife育兒生活雜誌】
http://mag.udn.com/…/%E5%A6%82%E4%BD%95%E6%BF%80%E7%99%BC%E…
同時也有2部Youtube影片,追蹤數超過8萬的網紅賭Sir【杜氏數學】HermanToMath,也在其Youtube影片中提到,杜氏數學 官方網站: http://www.HermanToMath.com 賭Sir 幫你急救 DSE 數學: https://HermanToMath.skx.io ---------- ?️賭Sir是杜氏數學Herman To Math的始創人 ?全港唯一「完爆」【DSE Core+M1+M...
骰寶計算機 在 賭Sir【杜氏數學】HermanToMath Youtube 的精選貼文
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Title:
懂得加減乘除的人就是賭場機率專家?
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Subtitle:
為何機率咁簡單,卻需要電腦運算?
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Script:
上回提到,要預測長賭命運,就要計算EV;要計算EV,就要計算機率;要計算機率,就只需要數數目。
這當然只是故事的一部份而已,有些情況不是數數目就能了事,例如投注六合彩要麼中頭獎,要麼沒有中頭獎,只得兩個可能性,但我們不能因而聲稱中頭獎的機率為二份之一。這個例子與「擲毫要麼公,要麼字,因而機率各佔二份之一」的不同之處,在於擲毫的結果,一般我們會相信是均等,所以才可以使用「切蛋糕」法則。
賭場遊戲也有不少類似情況,例如骰寶(Sic Bo),俗稱買大細,每一局的結果,都可以分成「大」、「小」和「圍骰」三款。很明顯,一般人都會相信大和小的機率均等,但圍骰的機率卻相對低,因此,我們不會採用「切蛋糕」法則,聲稱這三款的結局各佔機率三份之一。
由此,我們需要更利害的方法——「強化版」樹狀圖。
強化版樹狀圖,將事件發生機率標記在分枝上,變相濃縮了沒差的資訊。以上方的樹狀圖為例,把擲不到1點的情況濃縮成一個情況,佔六份之五的機率,這有利計算擲出「圍一」的機率:
每一條路線,都是一個情況。每一個情況,都由數個階段構成。階段與階段之間用乘法連繫,情況與情況之間用加法連繫。
下一個階段?乘! 下一個情況?加!
由上圖可見,圍一的機率是 ,如此類推,圍骰包括圍一、圍二、圍三……圍六,總共有六個情況,因此圍骰的機率是 ,
(至此,我們僅用了乘法和加法。)
若以百分率表示,即 。
由於大和小的機率相同,因此從100%的機率之中,剔除了圍骰的2.78%,再各分一半,便是大和小分別的機率了。
大和小機率分別是:
(終於用齊加減乘除了!)
有了強化版樹狀圖,你便能進一步將隨機事件濃縮地考量,以百家樂(Baccarat)為例,你從維基百科(Wikipedia)搜索到百家樂「莊、和、閒」三款結果的機率:
(節錄自:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BE%E5%AE%B6%E6%A8%82)
根據圖表,莊勝的機率是0.458597。留意這個用點數表示機率的方法,是分數和百分率以外表達機率的常用方法,點數的好處是方便運算。例如,連開三口莊有三個階段:第一口莊、第二口莊、第三口莊,根據強化版樹狀圖的乘法理論,連開三口莊的機率可這樣計:
0.096448089這個數字代表了什麼呢?你需要將它乘以100,得出9.6448089,它就變成百分率了,即大約有9.64%的機率(接近一成)會連開三口莊。
點數 × 100 = 百分率(%)
不難看得出:賭局規則越複雜,機率便越難計算。以百家樂為例,補牌規則相當複雜,加上莊勝只能賺取0.95注,勝率以人手來計實在太繁複,這就是電腦出場的時候了。大約的流程是:先寫一串電腦程式碼,教電腦了解賭局的規則,然後由電腦取代人手,列出所有可能性,再由電腦數數目,以分蛋糕法則計算機率。但由於寫程式太過複雜,在這入門課就只略述至此。
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
A ── 會考 Math 數學
A ── 會考 Additional Math 附加數學
A ── 高考 Pure Math 純粹數學
A ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
A ── IAL Core Math 1 2
A ── IAL Core Math 3 4
A ── IAL Further Pure Math 1
A ── IAL Mechanics 2
A ── IAL Mechanics 3
A ── IAL Statistics 1
A ── IAL Statistics 2
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精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo
骰寶計算機 在 賭Sir【杜氏數學】HermanToMath Youtube 的精選貼文
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Title:
被莊家永遠隱藏的機率原來很易計?
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Subtitle:
一張凳、一本簿、一枝筆,便可以簡單運算?
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Script:
要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利,你要靠EV;而EV的計算,則涉及賠率(Odds)和機率(Probability)。一般賭局,賭率無論是固定,抑或不固定,都必定會顯示(例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等);然而,勝負機率卻永遠隱藏。
計算機率可以非常複雜,看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的,相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單,有些連小學作業都有教。
為什麼又可以簡單?又可以複雜呢?這要由「機率是什麼」說起。
首先,機率就像重量、長度、價錢等,是一個量度值。當你想知道自己的體重,你會站在電子磅;當你想知道自己的身高,你會用尺量度;當你想知過大海船票幾貴,你會查一查價錢;而當你想知道一件事情發生的可能性,你便要計算機率。
那麼,有什麼事你會想知它的可能性呢?擲一粒骰「擲到七點」的可能性,你會想計算嗎?不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼,擲骰擲到整數的可能性,你又會想計算嗎?不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見,當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時,你不會問可能性。換言之,當你不肯定某事情是YES還是NO時,你才會想窺探可能性。
最家傳戶曉的例子,非擲毫莫屬:究竟下一回是公定字呢?
雖然機率是數學之中的一個範疇,但機率在語言之中也佔了一席位,縱使未曾學過機率,都會以「五十五十」來描述擲毫的結果,即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十(50%)。
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通,因為一整份是100%,各分一半自然是各佔50%,亦是兩份之中取一份,二份之一也。
分數概念對機率非常便利,將虛無飄渺的機率圖像化,轉化成「切蛋糕」的情況--由於你深信擲公和字的可能性均等,公和字就像一對雙胞胎,要吃相同份量的蛋糕,身為父母你便得把蛋糕一分為二,一份給公,一份給字,二份之一也。
此平平無奇的「二份之一」概念,更足以延伸至更多情況:
擲一粒骰子,擲得一點的機率是多少?
由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同,它們就像六胞胎平分生日蛋糕,你把蛋糕一分為六,一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率,六份之一是也。
只要看得穿多少胞胎在分蛋糕,便能運算出機率。
雖然擲毫的機率十分顯淺,顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣,然而,由擲毫和擲骰引起的誤解,同時惹來不少人放棄了機率,甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是:
「擲公字的機率是二份之一,那麼,要是第一局己擲到了一次公,下一局將必定擲到字嗎?」
當然不是!否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎?這是天方夜譚吧。再者,若「必定」梅花間竹地出現,機率該是100%,這一點也抵觸了「二份之一」的說法。
「既然二份之一的機率,並不代表能夠預測下一局,對賭客來說又有什麼意思?」
答案很簡單,就是用來計算EV,預知定然的長遠結果。
明白了機率的意思和功用之後,接下來正式講解機率的3大運算方法:
1. 窮舉法(Exhaustive Method):一次隨機事件
先前提過,基本的機率運算,是平均分蛋糕的遊戲。由此可見,「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好,這種「有幾」的問題,都只是嬰孩學「數手指」(即數數目)可以應付的問題。
由擲公字的例子起步,全部的情況有「公」和「字」,我們就這樣數:
「公……第一個;字……第二個。總共兩個。」
即問題涉及雙胞胎,將蛋糕分成兩份。
如想知擲得「公」的機率,我們又再數過:
「公……第一個。總共一個。」
可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份,二份之一也。
擲骰子亦同樣,這樣數全部的情況:
「一點……第一個;兩點……第兩個;三點……第三個;四點……第四個;五點……第五個;六點……第六個。總共六個。」
即問題涉及六胞胎,將蛋糕分成六份。
如想知擲得「雙數」(即2、4、6)的機率,我們又再數過:
「兩點……第一個;四點……第二個;六點……第三個。總共三個。」
可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份,六份之三也。
兩題的答案,分別是「二份之一」( )和「六份之三」( ),究竟誰大誰小呢?欲比較分數,可以先將它化簡,繼續直接觀察,或者相減或相除。然而,分數的觸覺並非人皆有之,曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此,我建議採取較「平易近人」的百份率(%),換算方法是--將分子除以分母,再乘以100,便是百份之多少,即多少%了。
機率(%)=分子÷分母×100
以上述的結果為例,先把1除2,再乘以100,得出50,即擲得公的機率為 50%;把3除以6,再乘以100,得出50,即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色,「一樣那麼可能」。
由這兩個例子得知:只要能夠準確細數可能發生的情況(我稱之為懂得數手指)便能夠計算基本的機率了。
當然,懂得數手指並不等如一定數得清,當數量太多的時候,例如打麻雀(144隻牌)一起手便食糊(又稱食天糊)的機率,逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人,的確能夠把所有可能性徹底列出,但整個過程也拖太久了吧?
因此,數數目亦應該要有聰明的方法。
2. 列表法(Tabulation):兩次隨機事件
以擲骰子為例,擲一粒骰當然能夠「數手指」,因為只得6面。可是,如果擲兩粒骰呢?總有多少個可能的結果?
「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個;第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性,最終便會得知,總共有36個可能發生的結果。
列出來當然可以,但無可否認實在太煩了,而煩,亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢?
日常生活中,有一種表達方法,很值得參考,就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹,因此會是兩個馬匹號碼互相配搭,例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」,情形就像2粒骰的點數,「一點」加「六點」。
由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下:
每一格分別代表一個情況,例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點,綠色的骰子三點」。 由此可見,擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之,將蛋糕切成36份。
如問擲得總點數為10的機率,使用「馬經作圖法」答案一目了然:
非常明顯,共有3個格子,是兩骰點數相加為十(分別是(4,6)、(5,5)和(6,4))因此這三十六胞胎,現在有三胞胎說要吃蛋糕了,在「36份之」中吃了「3」份,答案是「36份之3」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)
值得留意的是,這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方:
試想想,現有6張卡,分別畫了骰子的6面,現在你隨機抽取兩張,請問2張卡的點數相加為十的機率是多少?
很多人會照舊作答「36份之3」,原因是問題只是將骰子變成卡片,情況不甚改變,而且,使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表:
可惜這是錯的,答案錯,列表也是錯的,錯在算少了一著:擲骰子可以擲到相同數字,例如2粒骰都是一點,但抽卡並不能抽到相同數字呢!卡片只得1張,你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此,列表應修正如下:
灰色代表根本不可能發生的情況,即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表,蛋糕應平分為30份,而不是36份。符合相加為十的結果,亦不是3個,而是2個,因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此,修正後的答案為「30份之2」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)
3. 樹狀圖(Tree Diagram):兩次或以上隨機事件
雖然列表可以將可能性整齊地列出來,但列表也有它的局限之處,就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件,則要靠樹狀圖了。
以擲毫為例,如連擲三枚硬幣,擲得至少一次公的話,你便可以獲得8000元,這個遊戲值得花5000元去玩嗎?
首先,你得知道勝出這賭局的機率,即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件,因此無法使用列表法,非用樹狀圖不可:
樹狀圖就像旅行路線圖,每一條路都是一個行程,每一個行程就是每一個可能性,不妨逐個寫出來看看:
由圖所示,這年遊戲總共有8個結局,而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金,由此使用「分蛋糕」概念,你勝出遊戲的機率是8份之7,換算成百分率,即87.5%。
賠率則這樣計算:以5000元當作1注,如得勝則淨贏3000元,即贏3000÷5000注,又即0.6注。因此,你若參與這個賭局,你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%,是一個正數。長賭下去,你將會獲取40%的純利,當然值得參與賭局。
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