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泰勒展開式例題 在 [心得] 高中數學多項式與大學微積分的連結- 看板RESIT 的推薦與評價
※ [本文轉錄自 tutor 看板]
最近剛好有機會碰98課綱的數學科部份，因此經過閱讀後，感到修改的相當好，也觸
發了部份以前沒有想過的想法，所以提出來給大家參考。有家教的人若有這樣的思維，我
認為是教學上有相當大的幫助，所以希望有在家教的人一定要看！
寫此篇文章有兩個主要的目的；
(一)希望有在教高中數學家教的人，能了解多項式這一個章節其題目的重要，與為什麼要
學生學習這些概念，進一步幫助學生學習。
(二)希望看完本文的人，也能將以前學習與後來學習微積分的部份連結起來，了解之前學
那些的目的，進而重拾對微積分的興趣。
一、操作除法的目的
先談談以前沒有想過的事情。在高中時，我們學多項式第一個是先學習多項式的運算
，也就是加減乘除。在運算上大都可被接受，而且加、減、乘通常是可以被意會的，這時
是不是有疑問？除法會很難嗎？不是除一除就可以得到商式和餘式嗎？是的，在整數的除
法上，商式和餘式是容易被解釋的。
例如：15顆蘋果分給4個人，每個人可以得到3顆，最後總共剩3顆。
(被除數) (除數) (商數) (餘數)
但這樣的解釋方式無法在多項式除法奏效，要怎麼說明x^2+3x+1除以x+1後，商是x+2
，餘式-1，這些所謂「數式」的意義？是的，其實這些都有意義。98課綱明確指出，多項
式除法具有化繁為簡的目的，也就是說我們希望透過操作除法達到化簡問題的功用。舉例
來說，以前一定有做過以下類似題目：
<例一> f(x)=x^3-6x^2-8x+5，求f(7)=?
(sol)
老師說；「直接代入太麻煩了，所以我們可以使用綜合除法求餘式。」
故透過綜合除法求得f(x)=(x-7)(x^2+x-1)-2，所以f(7)=-2。
是的這樣操作的確達到了上面化繁為簡的精神，但並沒有賦予做此問題理由，也就是
說，學生只能感受到求f(a)的值只要將f(x)除以(x-a)後得到的餘式就是f(a)。但事實上
，操作除法的目的就是要解決求值問題，當問題越來越龐大，多項式越來越多項，那麼我
們還只能代入值，然後乖乖地計算f(a)值嗎？故操作除法精神在此，可以使用餘式定理求
f(a)值。
二、體驗使用泰勒多項式求值
這個部份再以一個例子開頭。
<例二> 若f(x)=x^3-x^2-6x+9，求f(0.999)的近似值？
(sol)
你會這麼做，將f(x)以除式(x-1)操作一次綜合除法，得到f(x)=(x-1)q1(x)+3，再
將q1(x)做一次綜合除法得到q1(x)=(x-1)q2(x)-5，依此類推。
最後得到f(x)=(x-1)^3+2(x-1)^2-5(x-1)+3，這時再將0.999代入求得近似值。
這是一個高中課本各版本一定會出現的例題，透過除法作泰勒展開，但當我們在學習
微積分泰勒級數的時候，有多少人能與之前的高中課程這個段落做連結呢？因此，我認為
教學者應當在此段落能意會為何要學習此題型，才能真正與大學課程連結。
以下提出幾個具體建議，操作此題型時，教學者應當有以下這些概念；
(1)這是為了大學的泰勒展開作基礎準備。我很訝異我當初學Taylor Expansion沒有意識
到這件事，也沒有與高中學的這部份做連結，實在很可惜。
(2)上述的泰勒式係數與微分有關。我想只要熟習Taylor的人都知道，前面就是多次微分
後除以n!，再代入點值後得到的數字。因此藉由除法的多次操作，除了可以得到那點
的近似值，也能藉由得到的係數反計算微分值。
(3)因多項式有限，故只能操作有限的除法，得到有限泰勒式。像是exp(x)或是sinx、
cosx等可微分無窮次的函數，其泰勒展開則為無窮級數和。
三、低階泰勒展開與餘式
以前中學時期，我想也一定會遇到下列此問題；
<例三>若f(x)除以(x-1)的餘式為2，除以(x-2)的餘式為5，則f(x)除以(x-1)(x-2)
的餘式為何?
(sol)
這種題目會這樣做；因為除式是二次，故假設餘式為ax+b，因為f(1)=2，f(2)=5，
所以代入解聯立a+b=2、2a+b=5，則a=3、b=-1，故餘式為3x-1。
這樣的題目不算難，但卻很少有人知道為何要求餘式？98課綱在這裡說明了求餘式的
意義，因為餘式是一次多項式，且通過(1,2)、(2,5)兩點，因此y=3x-1是y=f(x)圖形上通
過此兩點的割線方程式。那為什麼要求割線？答案是為了切線作準備。
以上面例子來說，應不難聯想到，若我們想求y=f(x)圖形在(1,2)這點的切線，只
要將f(x)除以(x-1)^2所得的餘式，即為過(1,2)此點的切線方程式。
多麼美妙的事情！但以前學習時，卻從來沒有被賦予這樣的思考邏輯。這實在很可惜
！但之後98課綱實施後，除法已經有了這樣的連結，學習多項式已經不再枯燥，不會有不
知為何而做的想法了。
事實上，上述概念也能以<例二>作解釋；
f(x) = x^3-x^2-6x+9 = (x-1)^3+2(x-1)^2-5(x-1)+3
上式右邊則為f(x)在x=1的泰勒展開式。
(1)當我們取3時，則為f(x)在x=1之值。
(2)當我們取-5(x-1)+3，則為f(x)在x=1的一次泰勒近似，即為在x=1之切線，也是f(x)除
以(x-1)^2的餘式。
(3)當我們取2(x-1)^2-5(x-1)+3，則為f(x)在x=1的二次泰勒近似，即為在x=1以拋物線
近似f(x)，也是f(x)除以(x-1)^3的餘式。
總結
98課綱雖然沒有明確提到切線或微積分泰勒展開的部份，但在這部份做了相當好的連
結，且從國中學習的一次、二次函數內容，延伸到綜合除法、求餘式、割線等概念，能加
強學生學習的興趣與深度，我認為是相當好的教材，且弱化一些不必要的困難代數操作，
不僅減輕學生負擔，學習起來也更能連結到大學的微積分部分，知識也更連貫了。
本文是基於讀完此章節的課綱設計後，覺得相當有趣，提出來分享給大家。希望有志
做教學的大家，能藉此更瞭解教材的內容，提昇教學品質。
有些人可能會質疑現行為95課綱，為何寫這篇文章？我認為這不是課綱是否實施的問
題，而是教學者該有的想法、概念，才能知其為何而行、知道為何要學習這樣的素材、題
型，對於教學更具有說服力及提昇學生之學習興趣。
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