Search
【搬運計畫：積分前篇｜重點十：四大積分基本方法之二：三角置換法｜精選範例 10-4｜張旭微積分】
.
本影片透過計算圓的面積來實戰練習三角置換法。要特別注意的地方是，這個不是計算圓形面積的證明，因為這個計算本身的源頭已經運用了圓面積公式，所以這個計算只能用來當作驗算圓面積公式的一個方法
.
更多影片請 YT 🔍 數學老師張旭
.
所有社群平台官方關鍵字：
數學老師張旭、張旭病毒發源地
changhsumath、changhsumath666
.
張旭老師的線上教學平台
google 🔍 張旭無限教室
【核廢棄物處置問題－確實瞭解，務實面對】
下方文字取自太專業的前輩臉書，感謝他開放提供轉載，我個人也頗有收穫，尤其是美國已經有高階廢料處置場那段。文長但也請耐心看完，近期來想辦法把他圖片化。在那之前，記得報名我們講座，和分享影片喔！講座剩下不到十個名額了。
🍌這邊報名：https://forms.gle/77hQxkZiLT4dX2UB8
🍌這邊看片：https://reurl.cc/247lg9
******************************************************
▋引言
自從2011年日本福島311核能事故發生以來,核能議題已經變成國內輿論的熱門。由於核能所牽涉的專業非常廣泛，而我國存在核廢棄物是一個既存的事實，不會因為擁核或反核有所改變，因此唯有確實瞭解與務實面對，才是應有的負責態度。以下試從專業的角度探討高階核廢棄物深層地質處置的可行性與安全性，目的在於說明事實，內容雖難免流於技術性，但對一般大眾瞭解事實或有幫助。
▋多層障蔽保障高階核廢棄物深層地質處置安全
坊間常以「處理」一詞涵蓋所有的核廢棄物管理活動，所謂「高階核廢棄物沒辦法處理」其實是「高階核廢棄物沒辦法處置」之意。沒辦法處置也就是處置無法確保安全，要做此評斷，必須先瞭解處置安全性如何確保。
早在美蘇展開核武競賽初期，美國國家科學院就在1956年推薦以深層地質進行高階核廢棄物(包括高放射性廢棄物與用過核燃料)的處置，後續在國際原子能總署(IAEA)、經濟合作與發展組織(OECD)以及歐、美、日等核能大國的推動研究下，已證明深層地質處置極為安全，並為國際所普遍接受。
深層地質處置是採取多重障蔽的安全防禦概念，以建立多重阻礙的方式，阻絕放射性物質移動到人類的生活圈。第一層障蔽就是高階核廢棄物的本體，例如將高放射性廢棄物做成堅固的玻璃體，用過核燃料的燃料丸則做成陶瓷體；第二層障蔽是廢料體的容器，例如將廢料玻璃體密封盛裝在不銹鋼容器中，用過核燃料的陶瓷質燃料丸則包封在鋯合金鞘套內；第三層障蔽是金屬的外包裝層，也就是金屬棺，例如用足夠厚度的銅或耐蝕性金屬作棺，以密封包覆廢料體容器；第四層障蔽是緩衝材料與回填材料，也就是在金屬棺的四周以壓實的膨潤土層圍繞密封，再以母岩碎粒和黏土或膨潤土等的混合物夯實填滿膨潤土密封層和處置坑之間的空隙；第五層障蔽就是地質障蔽，包括處置母岩與周圍的地層。
▋天賜絕佳的障蔽材料
五層障蔽的材料不論是金屬、礦土或地質岩層，其阻絕放射性物質移動的基本特性、加工方法與功能，都已經過現代實驗室的試驗研究與模擬計算加以驗證。
如大家熟知的，銅金屬腐蝕時會在表面生成一層保護膜，因此，即使在潮濕空氣，甚至非氧化性酸液存在的環境下，銅都具備很好的耐蝕性。深層地質是屬於無氧的還原環境，銅在此環境的腐蝕速率幾近可以忽略。芬蘭就是採用銅做為用過核燃料的外棺，並預期在深層地質以及層層障蔽的保護下，用過核燃料能安置於銅棺內100萬年。
膨潤土也是最終處置的關鍵性障蔽材料，它遇水會膨脹並阻塞水的通路，並對溶解在水中的超鈾元素具有強大的吸附力，能將超鈾元素吸附固定，阻絕其移動，是高階核廢棄物最終處置絕佳的障蔽材料。
母岩地質也是天然的障蔽材料，除了提供穩定與封閉的功能外，萬一放射性物質突破重重障蔽往人類生活圈移動時，處置場與人類生活圈之間的地質圈，就會發揮阻絕、稀釋與延時的效果，使放射性物質移動到人類生活圈時，其放射強度已衰變到可接受的程度。
▋以「天然類比」為師
一般而言，用過核燃料處置後，大約經過10萬年，放射性就會衰變到天然鈾礦的程度，如果是處置用過核燃料再處理產生的高放廢棄物，則僅需約8000年。多重障蔽的安全概念也使用在低階核廢棄物的最終處置，因其放射性衰變到背景值的時間僅需300年左右，因此，對障蔽結構與功能的要求遠低於高階核廢棄物的處置。
要證明最終處置場的功能歷經數千年甚至數十萬年仍能保證有效，僅靠現代實驗室的短期研究與測試是不夠的，需要有更長期的事證加以佐證，因此所謂「天然類比」也就派上用場。
所謂「天然類比」是指利用經過長期演變的天然情境，以比擬、評估人造系統長期演變的可能結果。例如，在芬蘭Hyrkkölä和Askola地方的花崗岩中，曾發現存在於含硫酸鹽的地下水和氧化環境下的金屬銅，雖然已經歷了5千萬年，但仍然保持原狀。這對瞭解銅在深層地質環境下的長期耐用性，就是很好的天然類比。
中國大陸有很多千年的古墓，墓穴內的屍體與陪葬物仍然保持不爛，主要是因為「槨室的四周用木炭隔潮，又用白膏泥填塞」。木炭能吸水分，白膏泥就是高嶺土，能密封隔絕水份與空氣，因此埋在地下十幾公尺墓穴中的陪葬物，能長久保持下來。另外，在匈牙利的一個礦場，也發現了一座埋在黏土地層下的柏樹林，雖已埋藏800萬年之久，但樹幹態樣仍然完整保持。這些對以礦土做為處置障蔽材料都是很好的天然類比。因此，比高嶺土和黏土的水密封性以及離子吸附性更佳的膨潤土，即被廣泛當做現代高階核廢棄物處置的障蔽材料。
▋遠古的天然核反應爐遺跡佐證地質處置的安全性
除了以上的「天然類比」可供參考外，世界上還有一個發生在20億年前的天然核反應爐遺跡，能更貼切地佐證高階核廢棄物最終處置的安全性。
這個遺跡在1972年被發現，地點在中非加彭共和國的Oklo鈾礦區，是一個經過科學檢驗的天然核反應爐遺跡。在這個遺跡被發現之前，美國阿肯色大學(U. of Arkansas)化學系教授P. K. Kuroda，在1956年化學物理期刊(The Journal of Chemical Physics)發表了《鈾礦物的核子物理安定性探討》的論文，以核子反應爐理論公式，推測在早於20億年之前的時期，地球上一定厚度的瀝青鈾礦有發生「天然核反應爐」的可能性。發生此種「天然核反應爐」的主要關鍵是，該時期的天然鈾所含有的鈾-235濃度高於3%，亦即高於現代核反應爐的濃縮鈾核燃料中的鈾-235濃度；現在天然鈾所含的鈾-235濃度已衰減為0.7%。
根據Oklo遺跡的核反應產物所進行核種分析與比對結果得知，這個天然核子反應爐曾持續進行了幾十萬年的核分裂反應，釋出的能量功率平均約100千瓦，估計約消耗了5噸的鈾-235，並產生了5.4噸分裂產物以及1.5噸的鈽和其它超鈾元素。調查研究還發現，現場遺留的分裂產物和錒系元素，在20億年期間只移動了幾公分。這個天然核子反應爐遺跡是一個時間夠長、規模夠大的高階核廢棄物地質處置的天然類比事證，大自然以此向人類證明「深層地質可以有效拘限高階核廢棄物的核種移動」。
Oklo天然核反應爐遺跡的地點是砂岩地質，砂岩屬於多孔性沉積岩，透水性比較高，拘限核種移動的能力並不算好，但它仍然有效拘限了分裂產物和錒系元素的移動。因此，國際上已經普遍認同，以深度在300~1000公尺，拘限核種移動的能力比砂岩更佳的花崗岩、泥岩、中生代基盤岩等做為最終處置的母岩，並採用銅、膨潤土等長期耐久的封閉性材料，以現代工程技術建構多層人工障蔽，足以確保高階核廢棄物最終處置的安全。
▋美國已經有高階核廢棄物的處置場
有一個流傳坊間的說法是，現在國際上還沒有高階核廢棄物的最終處置場，並以此為例，認為高階核廢棄物沒有辦法處置。但這並不是真實情況！國際上第一個高階核廢棄物最終處置場，已於公元2000年在美國建成並開始營運。
這個處置場在新墨西哥州卡爾斯貝(Carlsbad)鎮，是專為美國發展核武所產生的超鈾高階核廢棄物最終處置而建造的。它之所以不廣被知曉，主要是因美國政府承諾只用以處置國防超鈾核廢棄物，不做為核電高階核廢棄物處置之用；在美國人不落人後的愛國心驅使下，沒費太多周折就選定了場址，並刻意稱為「廢棄物隔離先導場(Waste Isolation Pilot Plant，WIPP)」。
這個處置場的地質是岩鹽，也就是氯化鈉岩體。氯化鈉很容易溶解於水，但是在水份稀少的環境下，它會緩慢地重新結晶，時間一久，晶粒接合在一起就會形成大顆的鹽塊，如果有異物存在，就會被包封在鹽塊內，連水也會被包封住。2003年筆者曾到該處置場參觀，友人旅美核能專家吳全富博士當時擔任該場的營運長，安排筆者進入處置坑道內參觀，有一位地下坑道工程師送筆者一顆雞蛋大小的鹽塊，裡面有一個約兩三顆米粒大小的水泡，陪同參觀的人解說，那水泡是一億兩千萬年前的水。水在那種地質環境下，也會被永遠包封住，更不用說是固態的高階核廢棄物了。
卡爾斯貝超鈾高階核廢棄物處置場已運轉了10多年，使美國清理核武發展基地產生的高階核廢棄物得以最終處置。該處置場雖以「廢棄物隔離先導場」為名，但其實是一個坐落在橫跨數州、廣大無邊的岩鹽地盤上的處置場，以之容納處置全世界的高階核廢棄物都綽綽有餘。2012年12月，筆者應邀參加廈門大學主辦的「核能與核燃料循環論壇」，一同應邀參加的美國民用放射性廢棄物管理署(OCRWM)前署長Margaret S. Y. Chu女士(華裔)曾告訴筆者：WIPP為卡爾斯貝鎮民所歡迎，也帶來不少建設與發展，因此當美國核電用過核燃料最終處置的亞卡山計畫被擱置後，該鎮派代表到國會和能源部遊說，爭取把核電用過核燃料送到WIPP處置。
因此，我們可以說：核電高階核廢棄物最終處置之所以進展遲緩，主要是政治、社會與經濟等利益糾葛的關係，亦即英國核電政策白皮書(2008)中核廢棄物政策諮商的公民意見所言，是一項政治意願的問題，而不是安全與技術方面的問題。
▋高階核廢棄物不是不能處置，只是需要時間循序漸進！
高階核廢棄物最終處置除了選址需要冗長的溝通外，即使有了預定場址，還需要進一步的詳細地質調查與水文調查，並且要建立地下實驗室進行地下實驗。一般而言，溝通、選址、地質調查、地下實驗室實驗等工作，需時短則二、三十年，長則四、五十年，處置設施的建造通常只需要10年左右。因此，除了芬蘭與瑞典正在建造，預定在2022年與2027年建成運轉外，其他國家最快的也僅進行到地下實驗室階段，尚未進入設施建造階段。
就高放廢棄物與用過核燃料等兩種高階核廢棄物最終處置所需的放射性衰變時間做比較，前者約需8,000年，後者為10萬年，後者是前者的12倍左右；前者的體積約為後者的20~25%，但兩者總衰變熱差異不大，因此兩者所需的處置面積相差不多。用過核燃料再處理可以提煉出鈽和鈾再利用，對資源的善用有利，但再處理的成本很高，採取用過核燃料再處理的所謂「封閉循環」路徑，總成本要比將用過核燃料直接處置的「開放循環」多出1~2倍。
另外，用過核燃料再處理提煉出的鈽，只要少量就可以製造成核子彈，事關核子擴散的敏感問題，因此如何發展成本較低、能防止核子擴散的再處理技術，目前仍在研究中。因此，在多方的權衡考量之下，近年來遂有所謂「百年長期貯存」的用過核燃料管理選項；荷蘭早就建好設施實施百年期的長期貯存，美國則正在計議中。畢竟將用過核燃料貯存百年並不是難事，在對社會、經濟與核武擴散等問題尚未有最好的答案之前，重新計議，事緩則圓，把事情做得更好，這也是需要時間的原因之一，但這不能解釋為沒有辦法處置。
▋尋求核廢棄物處置之道才是我國的議題！
我國擁有核廢棄物是既存的事實，政府現行的政策是：優先考量境內處置，不排除境外處置。但有很多聲音反對在國境內做處置，對境內有沒有適合的母岩進行處置也排斥調查研究。但如果我們是負責任的世代，對核廢棄物的何去何從，應該要有一個明確的交代！尋求核廢棄物的解決之道才是該探討的議題，否則只會更陷入困境。
境內處置既然是現行的優先政策，調查有無適合的母岩應是首要之務。有反對者以「台灣地質的齡期太短，長期穩定性不佳」，認為不適合做高階核廢棄物處置。事實上，母岩齡期之長短不能與有無長期穩定性畫等號。依據國際選擇高階核廢棄物處置場址的基本條件，一是地質的長期穩定性：從岩層的抬升率、侵蝕率，以及岩層的地球化學與水文地質環境是否會因地質及氣候變化而發生靈敏變化等做研判；二是長期穩定性必須是可預測的：經濟合作與發展組織（OECD）核能署(Nuclear Energy Agency，NEA)專家對此的建議是，以最近100萬年的地質變動情況做為研判的依據。
根據目前所獲得的資料，台灣東部的岩層包括花崗岩、花崗片麻岩等，齡期約在8000萬至9000萬年；金門、馬祖、烏坵等外島的齡期較長，約在1億至1億4000萬年之間，與法國Meuse地下實驗室的泥岩齡期約1億5000萬年，相去不遠。要確定境內處置是否可行，應先把地質的長期穩定性調查清楚才是正辦，否則徒然陷在空轉的困境。
▋總結
我國有核廢棄物存在是既成的事實，不論低階核廢棄物或高階核廢棄物的最終處置，雖有政策，但常見反對與排斥之聲，少見理性與務實的探討，政策的執行已陷入困境。就現今的情況而言，核廢棄物處置問題的解決誠屬不易，但解決的途徑也有多端。基本上，應以理性與負責的態度務實面對，執行單位應擬定境內與境外，短程與長程的解決策略，確實執行；社會大眾則應以共謀解決國家重大問題的態度面對。這才是應行之道，否則將陷入無法自拔的空轉困境。
Wow! 滿滿滿的會考數學重點吔😍
來來來，紙筆趕快準備好！
數學科會考精華重點，
帶你一手掌握致勝關鍵！
數學科會考30天衝刺重點
考前最後30天，
建議同學，調整好生理時鐘，
讓自己的大腦習慣
在10:30到11:50這段時間算數學。
切記每次考試前都花10分鐘的時間快速總複習，
把公式、重要性質、常忘常錯的地方，
用這個關鍵10分鐘掃過一遍。
考前最後30天以算新題
培養對沒看過的題目的臨場反應為主，
有錯的題目訂正完，
把關鍵寫在考前10分鐘的快速總複習筆記上，
下次考前再複習一次！
以下是會考精華重點，
這些重點不只會在選擇出現，
還可能出現在非選！
好好把握下列重點，
拿到數學滿分的成績單時別太意外！😂
1.正負數與數線：
「絕對值」代表「到原點的距離」、
「相減取絕對值」代表「兩點距離」
這種代數轉幾何的考法總是考不膩；
科學記號的應用問題通常都會搭配四則運算；
新舊數線轉換切記「差成比例」！
2.因倍數與公因倍數：
質數的判定、互質的判定還有短除法請熟練；
難題用標準分解式處理！
3.分數：
四則運算切記「先乘除，後加減，但次方優先！」，
還有括號的處理務必「由小到大」且小心變號！
4.一元一次方程式：
一元一次式的「化簡」切記「只能通分，不能同乘」；
應用題考列式也很常見。
5.二元一次方程式：
基本的分式解聯立請小心隱形的括號；
近年來也常考三格漫畫的應用問題，命中不用太訝異！
6.坐標平面：
基本的象限考正負；點的移動x右加左減，y上加下減；
「點到x軸的距離」=「y坐標取絕對值」，
「點到y軸的距離」=「x坐標取絕對值」；
水平線y相同，鉛直線x相同；
還有最常考的二元一次直線方程式畫圖！
7.比與比例：
雙比例問題考到爛，務必調整到符合題意。
8.函數：
線型函數應用問題可以利用「差成比例」處理！
9.一元一次不等式：
有基本的一元一次不等式求x範圍；
進階有天平問題和水量的應用問題。
10.乘法公式與多項式：
利用乘法公式求值請用力觀察數字之間的關聯性；
多項式長除法也很愛考；因式倍式關係要會看。
11.二次方根與勾股定理：
基本的化成最簡根式、有理化、四則運算要熟；
進階的根號估計也是大熱門；
勾股定理近年來都搭配後面幾何一起考。
12.因式分解：
通常喜歡考提公因式因式分解，再搭配次方的運算請小心。
13.一元二次方程式：
基本的十字交乘、配方法解x；
給兩根求方程式用倒帶；
觀念題小心消去未知數可能會減根。
14.等差數列：
基本的循環用除法看餘數、
等差數列換首項公差處理、
等差數列求和都是基本款；
近幾年等差數列喜歡搭配不等式請小心！
15.平面幾何：
對稱圖形不難；
外角定理在角度的計算超常用；
中垂線性質到兩端點等距、
角平分線性質到兩夾邊等距考到爛！
30度 - 60度 - 90度 邊長比「1：根號3：2」必考！
多邊形內角和、正多邊形內角和外角
要算到不小心背起來；
正六邊形、正八邊形、正12邊形
都是近年來考試重點。
16.三角形：
三角形兩邊之和大於第三邊、
大角對大邊小角對小邊偶爾會出；
三角形的全等證明要有考非選的心理準備。
17.平行與四邊形：
遇平行線延長會比較容易看；
平行時，同位角、內錯角相等，
同側內角互補超常用；
遇梯形常做的幾種輔助線要複習。
18.相似形：
常見的相似三角形組合要複習；
解題利用相似形的
「對應角相等」、「對應長成比例」、
「面積比等於對應長度平方比」這些性質；
要宣告三角形相似用相似性質，
要宣告非三角形的多邊形相似
則要一一檢查每一個對應角都相等，
每一個對應邊都成比例！
19.圓形：
考扇形、弧長、弓形算是基本款；
考相切要想到(1)垂直(2)切線段等長；
圓周角、圓內角、圓外角、弦切角也都很常考；
兩圓相切要連接兩圓圓心和切點；難題想到對稱性！
20.三角形的三心：
(1)外心：
到三頂點等距；
直角三角形外心在斜邊中點；
等腰三角形的R要會求；
角度可以利用圓周角和圓心角關係，
或是等腰三角形處理。
(2)內心：
到三邊等距；
r 的兩種求法請複習；
長度還可考求切線段長；
角度可利用角平分令x、x、y、y；
面積的兩種考法請複習。
(3)重心：
長度想到2比1，
面積想到六塊小三角形面積相等
21.二次函數拋物線：
開口的方向和大小要會看；
配方法求頂點求最大最小值必考！
考平移要想到
(1)看頂點的移動(2)開口不變a不變；
難題想到對稱性！
22.立體圖形：
近年來喜歡考空間觀念中的展開圖；
考角柱算是中規中矩；
靈活考題可能會搭配水量甚至考不等式！
23.統計：
給原始資料、給表、給直方圖、給圓餅圖，
中位數都要會求！
盒狀圖和圓餅圖也很常考，
特別是盒狀圖常會問四分位距的相關問題！
進階喜歡考圖形的轉換；
還有對稱圖形的平均數和中位數會相等！
24.機率：
列表討論、畫表格、畫樹狀圖必可解！
【摘要】
本影片透過計算圓的面積來實戰練習三角置換法。要特別注意的地方是，這個不是計算圓形面積的證明，因為這個計算本身的源頭已經運用了圓面積公式，所以這個計算只能用來當作驗算圓面積公式的一個方法
【勘誤】
無，若有發現任何錯誤，歡迎留言告知
【講義】
請到張旭老師臉書粉專評論區留下你的評論
然後私訊張旭老師臉書粉專索取講義，通過審核即可獲得講義連結
👉 https://www.facebook.com/changhsu.math/reviews
【習題】
請到張旭的生存用微積分社團下載
👉 https://www.facebook.com/groups/changhsumath666.calculus
【附註】
本影片適合理、工學院學生觀看
商、管學院學生可參考
【加入會員】
歡迎加入張旭老師頻道會員
付費訂閱支持張旭老師，協助本頻道發展並獲得會員專屬福利
👉 https://www.youtube.com/channel/UCxBv4eDVLoj5XlRKM4iWj9g/join
【購買下學期微積分教學影片】
本頻道僅公開張旭微積分上學期教學影片
若你需要下學期微積分影片，請參考我們的方案
👉 https://changhsumath.1shop.tw/calculus2nd
【學習地圖】
【極限篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjkwxSf-xDV47b9ZXDUkYiN)
【連續篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgntIXH9Jrpgo5O6y_--58L)
【微分篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiPgR9GLKtro3CTr6OIgdMg)
【微分應用篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjNzXUa9hI2IfknA8Q7iSwE)
【積分篇】
重點一：定積分直觀觀念 (https://youtu.be/gOuE68S3kXw)
重點二：奇偶函數的積分 (https://youtu.be/-UOnX6PWogc)
重點三：定積分正式定義 (https://youtu.be/9igA5vuk5Zc)
重點四：積分運算性質 (https://youtu.be/WOyCaUMVmbw)
重點五：微積分基本定理 I (https://youtu.be/T3o_OU2J9ss)
重點六：不定積分與反導函數 (https://youtu.be/fJhHZ9Hk1ec)
重點七：雙曲函數 (https://youtu.be/gfjGpy-pNIs)
重點八：積分表 (沒有講解影片)
重點九：四大積分基本方法之一：變數變換法 (https://youtu.be/trMid_t8_us)
重點十：四大積分基本方法之二：三角置換法 (https://youtu.be/VL--z89nYBs)
├ 精選範例 10-1 (https://youtu.be/kflmL1YIZbY)
├ 精選範例 10-2 (https://youtu.be/0Rc6tmLmI_g)
├ 精選範例 10-3 (https://youtu.be/JDBrRlDWpv8)
└ 精選範例 10-4 👈 目前在這裡
重點十一：四大積分基本方法之三：分部積分法 (https://youtu.be/VwUK8_JAuwk)
重點十二：積分表 (沒有講解影片)
重點十三：四大積分基本方法之四：部份分式法 (https://youtu.be/FDxrP8FT3yE)
【積分後篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhFI6OnDy0la5MqPOnWtoU7)
張旭微積分下學期課程影片將不會在 YouTube 頻道上免費公開
若你覺得我的課程適合你，且你下學期也有微積分要修
可以參考購課頁面 👉 https://changhsumath.1shop.tw/calculus2nd
【版權宣告】
本影片版權為張旭 (張舜為) 老師所有
嚴禁用於任何商業用途⛔
如果有學校老師在課堂使用我的影片的話
請透過以下聯絡方式通知我讓我知道，謝謝
FB：https://www.facebook.com/changhsu.math
IG：https://www.instagram.com/changhsu.math
【張旭老師其他社群平台】
Twitch：https://www.twitch.tv/changhsu_math
LBRY：https://odysee.com/@changhsumath:b
Bilibili：https://space.bilibili.com/521685904
SoundOn：https://sndn.link/changhsu_math
Discord 邀請碼：6ZKqJX9kaM
【贊助張旭老師】
歐付寶：https://payment.opay.tw/Broadcaster/Donate/E1FDE508D6051EA8425A8483ED27DB5F (台灣境內用這個)
綠界：https://p.ecpay.com.tw/B3A1E (台灣境外用這個)
#張旭微積分 #有錯歡迎留言指教 #喜歡請按讚訂閱分享
電子書 (手稿e-book) (共261頁) (HK$199)
https://play.google.com/store/books/details?id=Fw_6DwAAQBAJ
Note Download︰https://hermanutube.blogspot.hk/2016/01/youtube-pdf.html
中第23點
------------------------------------------------------------------------------
Calculus 微積分系列︰ https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8o2lveHTSM04WAhaGEZE7xB
適合 DSE 無讀 M1, M2，
但上左 U 之後要讀 Calculus 的同學收睇
由最 basic (中三的 level) 教到 pure maths 的 level，
現大致已有以下內容︰
(1) Concept of Differentiation 微分概念
(2) First Principle 基本原理
(3) Rule development 法則證明
(4) Trigonometric skills 三角學技術
(5) Limit 極限
(6) Sandwiches Theorem 迫近定理
(7) Leibniz Theorem 萊布尼茲定理
(8) Logarithmic differentiation 對數求導法
(9) Implicit differentiation 隱函數微分
(10) Differentiation of more than 2 variables 超過2個變數之微分
(11) Differentiation by Calculator 微分計數機功能
(12) Application of Differentiation - curve sketching 微分應用之曲線描繪
(13) Meaning of Integration 積分意義
(14) Rule of Integration 積分法則
(15) Trigonometric rule of Integration 三角積分法則
(16) Exponential, Logarithmic rule of integration 指數、對數積分法則
(17) Integration by Substitution 代換積分法
(18) Integration by Part 分部積分法
(19) Integration Skill : Partial Fraction 積分技術︰部分分式
(20) Integration by Trigonometric Substitution 三角代換積分法
(21) t-formula
(22) Reduction formula 歸約公式
(23) Limit + Summation = Integration 極限 + 連加 = 積分
(24) Application of Integration – Area 積分應用之求面積
(25) Application of Integration – Volume 積分應用之求體積
(26) Application of Integration – Length of curve 積分應用之求曲線長度
(27) Application of Integration – Surface area 積分應用之求表面積
(28) L’ Hospital rule 洛必達定理
(29) Fundamental Theorem of Integral Calculus 微積分基礎原理
(30) Calculus on Physics 微積分於物理上的應用
(31) Calculus on Economics 微積分於經濟上的應用
(32) Calculus on Archeology 微積分於考古學上的應用
之後不斷 updated，大家密切留意
------------------------------------------------------------------------------
Pure Maths 再現系列 Playlist： https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8os36AdSf64ouFT_iKbQfSZ
------------------------------------------------------------------------------
Please subscribe 請訂閱︰
https://www.youtube.com/hermanyeung?sub_confirmation=1
------------------------------------------------------------------------------
HKDSE Mathematics 數學天書 訂購表格及方法︰
http://goo.gl/forms/NgqVAfMVB9
------------------------------------------------------------------------------
Blogger︰ https://goo.gl/SBmVOO
Facebook︰ https://www.facebook.com/hy.page
YouTube︰ https://www.youtube.com/HermanYeung
------------------------------------------------------------------------------
電子書 (手稿e-book) (共261頁) (HK$199)
https://play.google.com/store/books/details?id=Fw_6DwAAQBAJ
Calculus 微積分系列︰ https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8o2lveHTSM04WAhaGEZE7xB
適合 DSE 無讀 M1, M2，
但上左 U 之後要讀 Calculus 的同學收睇
由最 basic (中三的 level) 教到 pure maths 的 level，
現大致已有以下內容︰
(1) Concept of Differentiation 微分概念
(2) First Principle 基本原理
(3) Rule development 法則證明
(4) Trigonometric skills 三角學技術
(5) Limit 極限
(6) Sandwiches Theorem 迫近定理
(7) Leibniz Theorem 萊布尼茲定理
(8) Logarithmic differentiation 對數求導法
(9) Implicit differentiation 隱函數微分
(10) Differentiation of more than 2 variables 超過2個變數之微分
(11) Differentiation by Calculator 微分計數機功能
(12) Application of Differentiation - curve sketching 微分應用之曲線描繪
(13) Meaning of Integration 積分意義
(14) Rule of Integration 積分法則
(15) Trigonometric rule of Integration 三角積分法則
(16) Exponential, Logarithmic rule of integration 指數、對數積分法則
(17) Integration by Substitution 代換積分法
(18) Integration by Part 分部積分法
(19) Integration Skill : Partial Fraction 積分技術︰部分分式
(20) Integration by Trigonometric Substitution 三角代換積分法
(21) t-formula
(22) Reduction formula 歸約公式
(23) Limit + Summation = Integration 極限 + 連加 = 積分
(24) Application of Integration – Area 積分應用之求面積
(25) Application of Integration – Volume 積分應用之求體積
(26) Application of Integration – Length of curve 積分應用之求曲線長度
(27) Application of Integration – Surface area 積分應用之求表面積
(28) L’ Hospital rule 洛必達定理
(29) Fundamental Theorem of Integral Calculus 微積分基礎原理
(30) Calculus on Physics 微積分於物理上的應用
(31) Calculus on Economics 微積分於經濟上的應用
(32) Calculus on Archeology 微積分於考古學上的應用
之後不斷 updated，大家密切留意
------------------------------------------------------------------------------
Pure Maths 再現系列 Playlist： https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8os36AdSf64ouFT_iKbQfSZ
------------------------------------------------------------------------------
Please subscribe 請訂閱︰
https://www.youtube.com/hermanyeung?sub_confirmation=1
------------------------------------------------------------------------------
HKDSE Mathematics 數學天書 訂購表格及方法︰
http://goo.gl/forms/NgqVAfMVB9
------------------------------------------------------------------------------
Blogger︰ https://goo.gl/SBmVOO
Facebook︰ https://www.facebook.com/hy.page
YouTube︰ https://www.youtube.com/HermanYeung
------------------------------------------------------------------------------
這部影片說明古希臘數學家阿基米德是如何透過"窮竭法" 去得出 圓面積 的 公式 ，並說明阿基里德如何透過數理邏輯，論證這條 公式 的正確性。 ... <看更多>
小學六年級數學「圓的周長與面積」教學，本影片在推導 圓面積 的計算 公式 。 ... <看更多>
圓面積公式證明 在 Re: [問題] 圓、橢圓的積分- 看板tutor - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ 引述《aack (喔)》之銘言：
: ※ 引述《Eshow (No pain No gain)》之銘言：
: : 莫名其妙看到 阿積不出來很難過 問問看
: : 圓的周長= 2pi R ---->怎麼積來的？
: 考慮極座標上一個半徑為a的圓r = a
: 2π 2π |2π
: 週長 = ∫ ds = ∫ adθ = aθ| = 2πa
: 0 0 |0
要用此積分得圓弧長值是可以
但是....今天如果要證明圓的週長＝2πr
用這極座標的積分去證明....基本上是倒果為因
因為極座標表達『圓弧線元素』是rdθ
這就是由圓的弧長公式所得到的.....
圓的弧長公式＝rθ （measure in radian）
極小的圓弧長就是自變量作為小的變化 （dθ）
所以用積分在極座標下來論證圓弧長公式是倒果為因的
要說明的應該是...圓的弧長公式為什麼是rθ？
（當θ＝2π時 自然就得到了圓的週長＝2πr）
首先
人類在古時候發現圓的周長和半徑呈現正比的線性關係（無數的經驗累積）
P＝kr （P是圓周長 r是半徑 k就是那個線性的比例常數）
並且這個k經過測量後似乎是固定的（不會因為圓的大小而有所變動）
k可以得到大約是6.283...左右的數字
問題是 怎麼知道 k 是固定的呢？
搞不好有一天因為不同的圓而產生不同的值
這是不可能的...因為相似多邊型 對應邊長成比例（這可由幾何原本中得到證明）
而『所有的圓』都是相似的 根據相似性原理
圓的『周長比』會等於『半徑比』 這就得到了 k 必為定值
此值我們現在稱為2π
圓周長既然解決
部分弧長的公式也可以根據相似的比例原則得到
弧長 s＝rθ （θ is measure in radian）
積分中的『圓弧線元素』是rdθ就是根據弧長s＝rθ而得到的
用以證明圓周長公式絕對是倒果為因的
在這裡提一下此事
因為我記得好像很多人用這種方法證明圓周長公式 並且以為這樣子做是對的
另外 利用積分來證明圓面積公式＝πr^2 也同樣是倒果為因....
講一點題外話
平常人們測量角度的表達使用度度量（measure in degree）
而不喜歡用徑度量（measure in radian）
因為度度量表達起來直觀，簡潔，等量分割圓為360度角，
容易使用圖像的聯想以粗估角度大小
而徑度量卻不然 他大小的表達是無理數的分割（2π的分解） 很不直觀
自古以來人類就懼怕無理數（即使到現在也是）
那麼為什麼數學喜歡徑度量而不喜歡度度量？
弧長公式與扇型面積公式的表達較度度量為簡潔（s＝rθ A＝1/2θr^2）
這固然是原因 但還不夠充分...（度度量也做得到）
為什麼徑度量為成為...數學中表達角度的主流？
主要原因還是因為以下的這個極限
sinθ
lim ------- ＝1 這只有在θ在徑度量才是真確的......
θ->0 θ
而這個極限，卻是在高等數學中相當重要的....（它不是1....那就難過了）
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 203.73.203.174
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.203.174 (03/17 03:27)
... <看更多>